最低票价--用贪心的思想思考状态转移方程

0x01.问题

在一个火车旅行很受欢迎的国度，你提前一年计划了一些火车旅行。在接下来的一年里，你要旅行的日子将以一个名为 days 的数组给出。每一项是一个从 1 到 365 的整数。
火车票有三种不同的销售方式：
一张为期一天的通行证售价为 costs[0] 美元；
一张为期七天的通行证售价为 costs[1] 美元；
一张为期三十天的通行证售价为 costs[2] 美元。
通行证允许数天无限制的旅行。 例如，如果我们在第 2 天获得一张为期 7 天的通行证，那么我们可以连着旅行 7 天：第 2 天、第 3 天、第 4 天、第 5 天、第 6 天、第 7 天和第 8 天。
返回你想要完成在给定的列表 days 中列出的每一天的旅行所需要的最低消费。

输入示例：days = [1,4,6,7,8,20], costs = [2,7,15]
输出示例：11
解释：例如，这里有一种购买通行证的方法，可以让你完成你的旅行计划：
在第 1 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 1 天生效。
在第 3 天，你花了 costs[1] = $7 买了一张为期 7 天的通行证，它将在第 3, 4, …, 9 天生效。
在第 20 天，你花了 costs[0] = $2 买了一张为期 1 天的通行证，它将在第 20 天生效。
你总共花了 $11，并完成了你计划的每一天旅行。

提示：1 <= days.length <= 365 1 <= days[i] <= 365 costs.length == 3
1 <= costs[i] <= 1000 days 按顺序严格递增

C++函数形式为：int mincostTickets(vector<int>& days, vector<int>& costs)

0x02.分析

毫无疑问，这是一个动态规划的问题。

状态很简单，就是第i天的最低消费。关键在状态转移方程。

如果某一天，没有出行，那么最低消费就等于前一天的。

如果某天出行了，那么这一天一定要有票，按照贪心的原则，要想当天的成本最低，最理想的方法是一天的票刚好是今天买的，七天的票刚好是七天前买的，三十天的票刚好是三十天之前买的，再在这个当中去选择一个消费最低的情况。

这个分析的思路等于是，倒推买票的日期。

还必须考虑到一个特殊情况，就是如果没有七天，三十天前，也就是i<7或者i<30的情况，钱数应该是0，dp数组的初始化应该也是0，为了方便知道某天是否出现，还可以设置一个标志数组。

状态转移方程为：

• 当天出行 dp[i]=min(costs[0]+dp[i-1],costs[1]+dp[i-7],costs[2]+dp[i-30])（还需额外考虑i与7，30大小）
• 当天不出行 dp[i]=dp[i-1]

0x03.解决代码

class Solution {
public:
    int mincostTickets(vector<int>& days, vector<int>& costs) {
        vector<int> dp(days.back()+1,0);
        vector<bool> istravel(days.back()+1,false);
        for(int day:days) istravel[day]=true;
        for(int i=1;i<dp.size();i++){
            if(istravel[i]==false) dp[i]=dp[i-1];
            else dp[i]=min(min(costs[0]+(i-1>0?dp[i-1]:0),costs[1]+(i-7>0?dp[i-7]:0)),costs[2]+(i-30>0?dp[i-30]:0));
        }
        return dp.back();
    }
};

ATFWUS --Writing By 2020–03–20