【数据结构与算法 12】二分查找、插值查找、斐波那契查找

一、前言

查找是在大量的信息中寻找一个特定的信息元素，在计算机应用中，查找是常用的基本运算，例如在编译程序中符号表的查找。

本文简单介绍二分查找、插值查找、斐波那契查找。

查找算法分类：

1、静态查找和动态查找

2、无序查找和有序查找

二、二分查找

1、基本思想

也称为折半查找，属于有序查找算法。用给定值value先与中间结点的关键字比较，中间结点把线形表分成两个子表，若相等，则查找成功；若不相等，再根据K与该中间结点关键字的比较结果确定下一步查找哪个子表，这样递归进行，直到查找到或查找结束发现表中没有这样的结点。

2、复杂度分析

最坏情况下，关键字比较次数为log2(n+1)，且期望时间复杂度O(log2n)；

3、大话数据结构

二分查找的前提条件是需要有序表顺序存储，对于静态查找表，一次排序后不再变化，二分查找能得到不错的效率。但对于需要频繁执行插入或删除操作的数据集来说，维护有序的排序会带来不小的工作量，此时不建议使用二分查找。

4、代码实例

public static List<Integer> binarySearch2(int[] arr, int left, int right, int findVal){
    // 当 left > right 时，说明递归整个数组，但是没有找到
    if (left > right) {
        return new ArrayList<Integer>();
    }

    int mid = (left + right) / 2;
    int midVal = arr[mid];

    if (findVal > midVal) { // 向 右递归
        return binarySearch2(arr, mid + 1, right, findVal);
    } else if (findVal < midVal) { // 向左递归
        return binarySearch2(arr, left, mid - 1, findVal);
    } else {
        List<Integer> resIndexlist = new ArrayList<Integer>();
        //向mid 索引值的左边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
        int temp = mid - 1;
        while (true){
            if(temp < 0 || arr[temp] != findVal){
                break;
            }
            resIndexlist.add(temp);
            temp--;
        }
        resIndexlist.add(mid);
        //向mid 索引值的右边扫描，将所有满足 1000， 的元素的下标，加入到集合ArrayList
        temp = mid + 1;
        while (true){
            if(temp > arr.length - 1 || arr[temp] != findVal){
                break;
            }
            resIndexlist.add(temp);
            temp++;
        }
        return resIndexlist;
    }
}

三、插值查找

1、基本思想

基于二分查找算法，将查找点的选择改进为自适应选择，可以提升查找算法的平均性能比折半查找要好的多。

如果数组中分布不均匀，那么插值查找未必是很合适的选择。

2、mid变量的计算

在二分查找中：

mid=(left+right)/2；

在插值查找中：

mid=left + (right - left)*(findVal - arr[left])/(arr[right]-arr[left])；

这个公式很牛！

3、代码实例

public static int insertValueSearch(int[] arr, int left, int right, int findVal){
    if(left>right || findVal<arr[left] || findVal>arr[right]){
        return -1;
    }

    int mid = left + (right - left)*(findVal - arr[left])/(arr[right]-arr[left]);
    int midVal = arr[mid];
    if(findVal>midVal){
        return insertValueSearch(arr,mid + 1,right,findVal);
    }else if(findVal>midVal){
        return insertValueSearch(arr,left,mid - 1,findVal);
    }else {
        return mid;
    }
}

4、插值查找算法和二分查找算法对比

（1）对于数据量较大，数值分布比较均匀的数组来说，使用插值查找算法，速度更快一些；

（2）但是对于数值分布不均匀的数组来说，建议使用二分查找算法；

四、斐波那契查找算法

1、基本思想

斐波那契数列又称黄金分割数列，黄金分割点，0.618。

{1,1,2,3,5,8,13,21,55}，发现规律了吗，前一个数值除以后一个数值，无限接近0.618，这个数列就称为斐波那契数列。

2、mid值的计算

斐波那契查找算法和二分查找差不多，但斐波那契没有递归，只是换一种方法寻找mid值，

mid=left + fibonacciArr[f-1] -1;

fibonacciArr：表示斐波那契数组；

f：表示斐波那契数列的第f个元素；

fibonacciArr[f] = fibonacciArr[f-1] + fibonacciArr[f-2];

3、代码实现

//因为后面我们mid=low+F(k-1)-1，需要使用到斐波那契数列，因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
//非递归方法得到一个斐波那契数列
public static int[] fibonacci(){
    int[] fibonacci = new int[20];
    fibonacci[0] = 1;
    fibonacci[1] = 1;
    for (int i = 2; i < fibonacci.length - 1; i++) {
        fibonacci[i] = fibonacci[i-1] + fibonacci[i-2];
    }
    return fibonacci;
}

//编写斐波那契查找算法
//使用非递归的方式编写算法
public static int fibonacciSearch(int[] arr,int findVal){
    int left = 0;
    int right = arr.length - 1;
    int f = 0;//表示斐波那契分割数值的下标
    int mid = 0;
    int[] fibonacci = fibonacci();
    //获取到斐波那契分割数值的下标
    while (right > fibonacci[f] - 1){
        f++;
    }

    //因为 f[f] 值 可能大于 arr 的 长度，因此我们需要使用Arrays类，构造一个新的数组，并指向temp[]
    //不足的部分会使用0填充
    int[] temp = Arrays.copyOf(arr,fibonacci[f]);
    //实际上需求使用arr数组最后的数填充 temp
    //举例:
    //temp = {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 0, 0}  => {1,8, 10, 89, 1000, 1234, 1234, 1234,}
    for (int i = right + 1; i < temp.length; i++) {
        temp[i] = arr[right];
    }

    // 使用while来循环处理，找到我们的数 findVal
    while (left <= right) {
        //fibonacci寻找mid固定写法
        mid = left + fibonacci[f - 1] - 1;
        if (findVal < temp[mid]) { //我们应该继续向数组的前面查找(左边)
            right = mid - 1;
            //为甚是 f--
            //说明
            //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
            //2. fibonacci[f] = fibonacci[f-1] + fibonacci[f-2]
            //因为 前面有 fibonacci[f-1]个元素,所以可以继续拆分 fibonacci[f-1] = fibonacci[f-2] + fibonacci[f-3]
            //即 在 fibonacci[f-1] 的前面继续查找 f--
            //即下次循环 mid = fibonacci[f-1-1]-1
            f--;
        } else if (findVal > temp[mid]) { // 我们应该继续向数组的后面查找(右边)
            left = mid + 1;
            //为什么是f -=2
            //说明
            //1. 全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
            //2. fibonacci[f] = fibonacci[f-1] + fibonacci[f-2]
            //3. 因为后面我们有f[f-2] 所以可以继续拆分 fibonacci[f-2] = fibonacci[f-3] + fibonacci[f-4]
            //4. 即在fibonacci[f-2] 的前面进行查找 f -=2
            //5. 即下次循环 mid = fibonacci[f - 1 - 2] - 1
            f -= 2;
        }else { //找到
            //需要确定，返回的是哪个下标
            if(mid <= right) {
                return mid;
            } else {
                return right;
            }
        }
    }
    return -1;
}

4、斐波那契查找算法与二分查找算法对比

斐波那契的性能对比优于二分查找，实验数据表明，斐波那契查找算法大约较二分查找算法快17%，但是这个归功于一个原因，斐波那契查找算法在分割时只有加、减运算，而没有乘法运算。

这样虽然运算简化了，实则复杂化了，看代码就知道了。