数据结构与算法之优先队列

优先队列

普通的队列是一种先进先出的数据结构，元素在队列尾追加，而从队列头删除。在某些情况下，我们可能需要找出队列中的最大值或者最小值，例如使用一个队列保存计算机的任务，一般情况下计算机的任务都是有优先级的，我们需要在这些计算机的任务中找出优先级最高的任务先执行，执行完毕后就需要把这个任务从队列中移除。普通的队列要完成这样的功能，需要每次遍历队列中的所有元素，比较并找出最大值，效率不是很高，这个时候，我们就可以使用一种特殊的队列来完成这种需求，优先队列。

优先队列按照其作用不同，可以分为以下两种：
最大优先队列：

可以获取并删除队列中最大的值

最小优先队列：

可以获取并删除队列中最小的值

1.最大优先队列

我们之前学习过堆，而堆这种结构是可以方便的删除最大的值，所以，接下来我们可以基于堆区实现最大优先队列

1.1.最大优先队列API设计

1.2.最大优先队列代码实现

// 最大优先队列代码
public class MaxPriorityQueue<T extends Comparable<T>> {
	//存储堆中的元素
	private T[] items;
	//记录堆中元素的个数
	private int N;
	public MaxPriorityQueue(int capacity) {
		items = (T[]) new Comparable[capacity+1];
		N = 0;
	}
	//获取队列中元素的个数
	public int size() {
		return N;
	}
	//判断队列是否为空
	public boolean isEmpty() {
		return N == 0;
	}
	//判断堆中索引i处的元素是否小于索引j处的元素
	private boolean less(int i, int j) {
		return items[i].compareTo(items[j]) < 0;
	}
	//交换堆中i索引和j索引处的值
	private void exch(int i, int j) {
		T tmp = items[i];
		items[i] = items[j];
		items[j] = tmp;
	}
	//往堆中插入一个元素
	public void insert(T t) {
		items[++N] = t;
		swim(N);
	}
	//删除堆中最大的元素,并返回这个最大元素
	public T delMax() {
		T max = items[1];
		//交换索引1处和索引N处的值
		exch(1, N);
		//删除最后位置上的元素
		items[N] = null;
		N--;//个数-1
		sink(1);
		return max;
	}
	//使用上浮算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置
	private void swim(int k) {
		//如果已经到了根结点，就不需要循环了
		while (k > 1) {
			//比较当前结点和其父结点
			if (less(k / 2, k)) {
				//父结点小于当前结点，需要交换
				exch(k / 2, k);
			}
			k = k / 2;
		}
	}
	//使用下沉算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置
	private void sink(int k) {
		//如果当前已经是最底层了，就不需要循环了
		while (2 * k <= N) {
			//找到子结点中的较大者
			int max = 2 * k;
			if (2 * k + 1 <= N) {//存在右子结点
				if (less(2 * k, 2 * k + 1)) {
					max = 2 * k + 1;
				}
			}
			//比较当前结点和子结点中的较大者，如果当前结点不小，则结束循环
			if (!less(k, max)) {
				break;
			}
			//当前结点小，则交换，
			exch(k, max);
			k = max;
		}
	}
}
//测试代码
public class Test {
	public static void main(String[] args) throws Exception {
		String[] arr = {"S", "O", "R", "T", "E", "X", "A", "M", "P", "L", "E"};
		MaxPriorityQueue<String> maxpq = new MaxPriorityQueue<>(20);
		for (String s : arr) {
			maxpq.insert(s);
		}
		System.out.println(maxpq.size());
		String del;
		while(!maxpq.isEmpty()){
			del = maxpq.delMax();
			System.out.print(del+",");
		}
	}
}

2.最小优先队列

最小优先队列实现起来也比较简单，我们同样也可以基于堆来完成最小优先队列。
我们前面学习堆的时候，堆中存放数据元素的数组要满足都满足如下特性：
1.最大的元素放在数组的索引1处。
2.每个结点的数据总是大于等于它的两个子结点的数据。

其实我们之前实现的堆可以把它叫做最大堆，我们可以用相反的思想实现最小堆，让堆中存放数据元素的数组满足
如下特性：

1.最小的元素放在数组的索引1处。
2.每个结点的数据总是小于等于它的两个子结点的数据。

这样我们就能快速的访问到堆中最小的数据

2.1.最小优先队列API设计

2.2.最小优先队列代码实现

// 最小优先队列代码
public class MinPriorityQueue<T extends Comparable<T>> {
	//存储堆中的元素
	private T[] items;
	//记录堆中元素的个数
	private int N;
	public MinPriorityQueue(int capacity) {
		items = (T[]) new Comparable[capacity+1];
		N = 0;
	}
	//获取队列中元素的个数
	public int size() {
		return N;
	}
	//判断队列是否为空
	public boolean isEmpty() {
		return N == 0;
	}
	//判断堆中索引i处的元素是否小于索引j处的元素
	private boolean less(int i, int j) {
		return items[i].compareTo(items[j]) < 0;
	}
	//交换堆中i索引和j索引处的值
	private void exch(int i, int j) {
		T tmp = items[i];
		items[i] = items[j];
		items[j] = tmp;
	}
	//往堆中插入一个元素
	public void insert(T t) {
		items[++N] = t;
		swim(N);
	}
	//删除堆中最小的元素,并返回这个最小元素
	public T delMin() {
		//索引1处的值是最小值
		T min = items[1];
		//交换索引1处和索引N处的值
		exch(1, N);
		//删除索引N处的值
		items[N] = null;
		//数据元素-1
		N--;
		//对索引1处的值做下沉，使堆重新有序
		sink(1);
		//返回被删除的值
		return min;
	}
	//使用上浮算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置
	private void swim(int k) {
		//如果没有父结点，则不再上浮
		while (k > 1) {
			//如果当前结点比父结点小，则交换
			if (less(k, k / 2)) {
				exch(k, k / 2);
			}
			k = k / 2;
		}
	}
	//使用下沉算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置
	private void sink(int k) {
		//如果没有子结点，则不再下沉
		while (2 * k <= N) {
			//找出子结点中的较小值的索引
			int min = 2 * k;
			if (2 * k + 1 <= N && less(2 * k + 1, 2 * k)) {
				min = 2 * k + 1;
			}
			//如果当前结点小于子结点中的较小值，则结束循环
			if (less(k, min)) {
				break;
			}
			//当前结点大，交换
			exch(min, k);
			k = min;
		}
	}
}
//测试代码
public class Test {
	public static void main(String[] args) throws Exception {
		String[] arr = {"S", "O", "R", "T", "E", "X", "A", "M", "P", "L", "E"};
		MinPriorityQueue<String> minpq = new MinPriorityQueue<>(20);
		for (String s : arr) {
			minpq.insert(s);
		}
		System.out.println(minpq.size());
		String del;
		while(!minpq.isEmpty()){
			del = minpq.delMin();
			System.out.print(del+",");
		}
	}
}

3.索引优先队列

在之前实现的最大优先队列和最小优先队列，他们可以分别快速访问到队列中最大元素和最小元素，但是他们有一个缺点，就是没有办法通过索引访问已存在于优先队列中的对象，并更新它们。为了实现这个目的，在优先队列的基础上，学习一种新的数据结构，索引优先队列。接下来我们以最小索引优先队列举列。

3.1.索引优先队列实现思路

步骤一：
存储数据时，给每一个数据元素关联一个整数，例如insert(int k,T t),我们可以看做k是t关联的整数，那么我们的实现需要通过k这个值，快速获取到队列中t这个元素，此时有个k这个值需要具有唯一性。
最直观的想法就是我们可以用一个T[] items数组来保存数据元素，在insert(int k,T t)完成插入时，可以把k看做是items数组的索引，把t元素放到items数组的索引k处，这样我们再根据k获取元素t时就很方便了，直接就可以拿到items[k]即可。

步骤二：
步骤一完成后的结果，虽然我们给每个元素关联了一个整数，并且可以使用这个整数快速的获取到该元素，但是，items数组中的元素顺序是随机的，并不是堆有序的，所以，为了完成这个需求，我们可以增加一个数组int[]pq,来保存每个元素在items数组中的索引，pq数组需要堆有序，也就是说，pq[1]对应的数据元素items[pq[1]]要小于等于pq[2]和pq[3]对应的数据元素items[pq[2]]和items[pq[3]]。

步骤三：
通过步骤二的分析，我们可以发现，其实我们通过上浮和下沉做堆调整的时候，其实调整的是pq数组。如果需要对items中的元素进行修改，比如让items[0]=“H”,那么很显然，我们需要对pq中的数据做堆调整，而且是调整
pq[9]中元素的位置。但现在就会遇到一个问题，我们修改的是items数组中0索引处的值，如何才能快速的知道需要挑中pq[9]中元素的位置呢？
最直观的想法就是遍历pq数组，拿出每一个元素和0做比较，如果当前元素是0，那么调整该索引处的元素即可，但是效率很低。
我们可以另外增加一个数组，int[] qp,用来存储pq的逆序。例如：
在pq数组中：pq[1]=6;
那么在qp数组中，把6作为索引，1作为值，结果是：qp[6]=1;

当有了pq数组后，如果我们修改items[0]=“H”，那么就可以先通过索引0，在qp数组中找到qp的索引：qp[0]=9,那么直接调整pq[9]即可。

3.2. 索引优先队列API设计

3.2.索引优先队列代码实现

// 最小索引优先队列代码
public class IndexMinPriorityQueue<T extends Comparable<T>> {
	// 存储堆中的元素
	private T[] items;
	//保存每个元素在items数组中的索引，pq数组需要堆有序
	private int[] pq;
	//保存qp的逆序，pq的值作为索引，pq的索引作为值
	private int[] qp;
	//记录堆中元素的个数
	private int N;
	public IndexMinPriorityQueue(int capacity) {
		items = (T[]) new Comparable[capacity + 1];
		pq = new int[capacity + 1];
		qp = new int[capacity + 1];
		N = 0;
		for (int i = 0; i < qp.length; i++) {
			//默认情况下，qp逆序中不保存任何索引
			qp[i] = -1;
		}
	}
	//获取队列中元素的个数
	public int size() {
		return N;
	}
	//判断队列是否为空
	public boolean isEmpty() {
		return N == 0;
	}
	//判断堆中索引i处的元素是否小于索引j处的元素
	private boolean less(int i, int j) {
		//先通过pq找出items中的索引，然后再找出items中的元素进行对比
		return items[pq[i]].compareTo(items[pq[j]]) < 0;
	}
	//交换堆中i索引和j索引处的值
	private void exch(int i, int j) {
		//先交换pq数组中的值
		int tmp = pq[i];
		pq[i] = pq[j];
		pq[j] = tmp;
		//更新qp数组中的值
		qp[pq[i]] = i;
		qp[pq[j]] = j;
	}
	//判断k对应的元素是否存在
	public boolean contains(int k) {
		//默认情况下，qp的所有元素都为-1，如果某个位置插入了数据，则不为-1
		return qp[k] != -1;
	}
	//最小元素关联的索引
	public int minIndex() {
		//pq的索引1处，存放的是最小元素在items中的索引
		return pq[1];
	}
	//往队列中插入一个元素,并关联索引i
	public void insert(int i, T t) {
		//如果索引i处已经存在了元素，则不让插入
		if (contains(i)) {
			throw new RuntimeException("该索引已经存在");
		}
		//个数+1
		N++;
		//把元素存放到items数组中
		items[i] = t;
		//使用pq存放i这个索引
		pq[N] = i;
		//在qp的i索引处存放N
		qp[i] = N;
		//上浮items[pq[N]],让pq堆有序
		swim(N);
	}
	//删除队列中最小的元素,并返回该元素关联的索引
	public int delMin() {
		//找到items中最小元素的索引
		int minIndex = pq[1];
		//交换pq中索引1处的值和N处的值
		exch(1, N);
		//删除qp中索引pq[N]处的值
		qp[pq[N]] = -1;
		//删除pq中索引N处的值
		pq[N] = -1;
		//删除items中的最小元素
		items[minIndex] = null;
		//元素数量-1
		N--;
		//对pq[1]做下沉，让堆有序
		sink(1);
		return minIndex;
	}
	//删除索引i关联的元素
	public void delete(int i) {
		//找出i在pq中的索引
		int k = qp[i];
		//把pq中索引k处的值和索引N处的值交换
		exch(k, N);
		//删除qp中索引pq[N]处的值
		qp[pq[N]] = -1;
		//删除pq中索引N处的值
		pq[N] = -1;
		//删除items中索引i处的值
		items[i] = null;
		//元素数量-1
		N--;
		//对pq[k]做下沉，让堆有序
		sink(k);
		//对pq[k]做上浮，让堆有序
		swim(k);
	}
	//把与索引i关联的元素修改为为t
	public void changeItem(int i, T t) {
		//修改items数组中索引i处的值为t
		items[i] = t;
		//找到i在pq中的位置
		int k = qp[i];
		//对pq[k]做下沉，让堆有序
		sink(k);
		//对pq[k]做上浮，让堆有序
		swim(k);
	}
	//使用上浮算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置
	private void swim(int k) {
		//如果已经到了根结点，则结束上浮
		while (k > 1) {
			//比较当前结点和父结点，如果当前结点比父结点小，则交换位置
			if (less(k, k / 2)) {
				exch(k, k / 2);
			}
			k = k / 2;
		}
	}
	//使用下沉算法，使索引k处的元素能在堆中处于一个正确的位置
	private void sink(int k) {
		//如果当前结点已经没有子结点了，则结束下沉
		while (2 * k <= N) {
			//找出子结点中的较小值
			int min = 2 * k;
			if (2 * k + 1 <= N && less(2 * k + 1, 2 * k)) {
				min = 2 * k + 1;
			}
			//如果当前结点的值比子结点中的较小值小，则结束下沉
			if (less(k, min)) {
				break;
			}
			exch(k, min);
			k = min;
		}
	}
}
//测试代码
public class Test {
	public static void main(String[] args) {
		String[] arr = {"S", "O", "R", "T", "E", "X", "A", "M", "P", "L", "E"};
		IndexMinPriorityQueue<String> indexMinPQ = new IndexMinPriorityQueue<>(20);
		//插入
		for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
			indexMinPQ.insert(i,arr[i]);
		}
		System.out.println(indexMinPQ.size());
		//获取最小值的索引
		System.out.println(indexMinPQ.minIndex());
		//测试修改
		indexMinPQ.changeItem(0,"Z");
		int minIndex=-1;
		while(!indexMinPQ.isEmpty()){
			minIndex = indexMinPQ.delMin();
			System.out.print(minIndex+",");
		}
	}
}